ランフォードの問題・考察３を示す。
考察３
記号1が2個、記号2が2個、・・・、記号6が2個からなる長さ12の
記号列において、
記号1の対の間に1個の記号、
記号2の対の間に2個の記号、
・・・、
記号6の対の間に6個の記号
があるような記号列を考察する。
1が2個、2が2個、・・・、6が2個からなる長さ12の記号列において、
記号mが最初に現れる位置をa(m)、2番目に現れる位置をb(m)とする。
記号mが挟む他の記号の個数をc(m)と置くと、
c(1)＝b(1)－a(1)－1
c(2)＝b(2)－a(2)－1
・・・
c(6)＝b(6)－a(6)－1
となる。
A(6)＝{a(1),a(2),a(3),a(4),a(5),a(6)}
B(6)＝{b(1),b(2),b(3),b(4),b(5),b(6)}
α(6)＝a(1)＋a(2)＋a(3)＋a(4)＋a(5)＋a(6)
β(6)＝b(1)＋b(2)＋b(3)＋b(4)＋b(5)＋b(6)
γ(6)＝c(1)＋c(2)＋c(3)＋c(4)＋c(5)＋c(6)
＝β(6)－α(6)－6
と置く。
A(6)∪B(6)＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} なので、
・A(6)で偶数6個、奇数0個なら、B(6)は偶数0個、奇数6個となる。
α(6)は偶数、β(6)は偶数、γ(6)は偶数となる。
・A(6)で偶数5個、奇数1個なら、B(6)は偶数1個、奇数5個となる。
α(6)は奇数、β(6)は奇数、γ(6)は偶数となる。
・A(6)で偶数4個、奇数2個なら、B(6)は偶数2個、奇数4個となる。
α(6)は偶数、β(6)は偶数、γ(6)は偶数となる。
・A(6)で偶数3個、奇数3個なら、B(6)は偶数3個、奇数3個となる。
α(6)は奇数、β(6)は奇数、γ(6)は偶数となる。
・A(6)で偶数2個、奇数4個なら、B(6)は偶数4個、奇数2個となる。
α(6)は偶数、β(6)は偶数、γ(6)は偶数となる。
・A(6)で偶数1個、奇数5個なら、B(6)は偶数5個、奇数1個となる。
α(6)は奇数、β(6)は奇数、γ(6)は偶数となる。
・A(6)で偶数0個、奇数6個なら、B(6)は偶数6個、奇数0個となる。
α(6)は偶数、β(6)は偶数、γ(6)は偶数となる。
以上より、γ(6)は常に偶数となる。
一方、求める記号列では、c(1)=1,c(2)=2,c(3)=3,c(4)=4,c(5)=5,c(6)=6 から、
γ(6)＝21となる。
したがって、n=6の場合、求める記号列は、0個になる。
同様の議論で、n＝10,14,18,…,4i+2,… において、求める記号列は、0個になる。
