フィボナッチ数が現れる問題（１３）の解答例を示します。 （１３）の解 数学的帰納法で示す。 （Ａ）n=1の場合、明らか。 （Ｂ）n=kのとき、成り立つとすると、n=k+1のときも成り立つ。 （Ａ),(Ｂ）より、証明された。 この関係を利用すると、f(n)を効率よ…

フィボナッチ数が現れる問題（１３）を紹介します （１３）フィボナッチ数と行列の関係を考察する。

フィボナッチ数が現れる問題（１２）の解答例を示します。 （１２）の解 ●を１対の親うさぎ、○を１対の子うさぎとし、増え方を図で表す。 kヶ月後において、子うさぎがx(k)対、親うさぎがy(k)対とすると、 x(k) = y(k-1) y(k) = x(k-1) + y(k-1) x(0) = 0, y…

フィボナッチ数が現れる問題（１２）を紹介します。 （１２）1対の親うさぎが毎月1対の子供を生む。1対の子は2ヶ月後に子を生む。1対の親うさぎからnヶ月後に、何対のうさぎになるか考察せよ。

フィボナッチ数が現れる問題（１１）の解答例を示します。 （１１）の解 ＡとＣが隣接する辺の傾斜を求めると、2/5、3/8となっており、ＢとＤが隣接する辺の傾斜を求めると、2/5、3/8となっており、わずかな隙間が存在する。拡大すると次のようになる。 すな…

フィボナッチ数が現れる問題（１１）を紹介します。 （１１）１辺が8の正方形を図１のように切り、図２のように並べ替えたところ、面積が64から65に増えてしまった。どうしてこのようなことになったのか考察せよ。

フィボナッチ数が現れる問題（１０）の解答例を示します。 （１０）の解

フィボナッチ数が現れる問題（１０）を紹介します。 （１０）下図のような正6角形の部屋が並べられた配置を考える。 上段左端の正6角形から出発し、左から右へ移動するとき、 途中の正6角形にたどり着く方法はフィボナッチ数になる。 矢印は移動可能な方向を…

フィボナッチ数が現れる問題（９）の解答例を示します。 （９）の解 フィボナッチ数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34,…}の正方形を考える。下図のような配置を続けていけばよい。

フィボナッチ数が現れる問題（９）を紹介します。 （９）平面を正方形で覆う方法を考察せよ。 ただし、正方形は重ならず、２つだけ同じ面積とする。

フィボナッチ数が現れる問題（８）の解答例を示します。 （８）の解 移動方法の個数をh(n)とする。白玉、黒玉の移動の方法で、次の２つの場合に分類できる。 ・場合１： 白玉が1から2に移動、黒玉が3から1に移動する ・場合２： 黒玉が3から2に移動、白玉が1…

フィボナッチ数が現れる問題（８）を紹介します。 （８）n+2個のマス目がある。左の1個のマス目に白玉1個、右のn個のマス目に黒玉n個を並べる。つぎの４条件（ア）～（エ）を満たしながら白玉と黒玉を交換する方法を考察する。 （ア）白玉、黒玉は同時に１個…

フィボナッチ数が現れる問題（7）の解答例を示します。 (７)の解 ●n=5の場合 1または3が末尾に現れる数字列の長さは奇数、2または4が末尾に現れる数字列の長さは偶数であることがわかる。 そこで、 1で終わる長さ2m-1の文字列の個数をA(2m-1) 2で終わる長さ2…

フィボナッチ数が現れる問題（７）を紹介します。 （７）4種の数字(1,2,3,4)から数字列を作る。 長さnの数字列s1s2…snにおいて、s1=1,|si-si-1|=1(2≦i≦n)となる ただし、同じ数字を何回使ってもよい。 数字列の個数g(n)はフィボナッチ数になる。 g(n)= g(n-1…

フィボナッチ数が現れる問題（６）の解答例を示します。 （６）の解 2×nの部屋に畳を敷く方法は、2×(n-1)の部屋に畳を敷く方法と、2×(n-2)の部屋に畳を敷く方法からなる。 したがって、 f(n)= f(n-1)+ f(n-2) (n≧3)， f(1)=1, f(2)=2 が成り立つ。

フィボナッチ数が現れる問題（６）を紹介します。 （６）2×nの広さの部屋に1×2の広さの畳を敷く方法f(n)は、フィボナッチ数になる。 f(n)= f(n-1)+ f(n-2) (n≧3) f(1)=1, f(2)=2

フィボナッチ数が現れる問題（５）の解答例を示します。 (５)の解 明らかに、e(1)=2，e(2)=3である。求める部分集合は、要素nを含むものと、含まないものに分類できる。前者の方法がe(n-2)通り、後者の方法がe(n-1)通りである。 したがって、 e(n)= e(n-1)+ …

フィボナッチ数が現れる問題（５）を紹介します。 （５）集合{1,2,…,n}上の部分集合で、連続する要素を含まないものの個数e(n)はフィボナッチ数になる。 e(n)= e(n-1)+ e(n-2) (n≧3) e(1)=2, e(2)=3

フィボナッチ数が現れる問題（４）の解答例を示します。 (４)の解 明らかに、d(1)=2，d(2)=3である。求める方法は、最後が+となるものと最後が+-となるものに分類できる。前者の方法がd(n-1)通り、後者の方法 がd(n-2)通りである。 したがって、 d(n)= d(n-1…

フィボナッチ数が現れる問題（４）を紹介します。 （４）記号 +,- を合計n個一列に並べて、- は２個連続することのないようにしたものの個数d(n)は、d(n)はフィボナッチ数になる。 d(n)= d(n-1)+ d(n-2) (n≧3) d(1)=2, d(3)=3

フィボナッチ数が現れる問題（３）の解答例を示します。 (３)の解 明らかに、c(1)=1，c(2)=2である。求める方法は、最初が1となるものと最初が2となるものに分類できる。前者の方法がc(n-1)通り、後者の方法が c(n-2)通りである。したがって、 c(n)= c(n-1)+…

フィボナッチ数が現れる問題（３）を紹介します。 （３）正整数nを1と2の和で表す方法c(n)はフィボナッチ数になる。 ただし、1と2の順序は自由とする。 c(n)= c(n-1)+ c(n-2) (n≧3) c(1)=1, c(2)=2

フィボナッチ数が現れる問題（２）の解答例を示します。 (２)の解 明らかに、b(1)=1，b(2)=2である。求める順列は、p(n)=nを満たす順列とp(n)=n-1,p(n-1)=nを満たす順列に分類できる。前者の個数がb(n-1)、後者の個数がb(n-2)である。したがって、 b(n)= b(n…

フィボナッチ数が現れる問題（２）を紹介します。 （２）集合{1,2,･･･,n}上の順列p(1)p(2)･･･p(n)で、|p(i)-i|≦1を満たす順列の 個数をb(n)とすると、b(n)はフィボナッチ数になる。 b(n)= b(n-1)+ b(n-2) (n≧3) b(1)=1, b(2)=2

フィボナッチ数が現れる問題（１）の解答例を示します。 (１)の解 明らかに、a(1)=1，a(2)=2である。階段の数がnのとき、n-1段目からと、n-2段目からの上がり方がある。したがって、 a(n)= a(n-1)+ a(n-2) (n≧3) が成り立つ。

フィボナッチ数が現れる問題を紹介します。 （１）1階と2階の間にはn段からなる階段がある。太郎君は、一度に1段か2段しか上がることができない。このとき、n段の階段の上がり方をa(n)通りとすると、a(n)はフィボナッチ数になる。 a(n) = a(n-1) + a(n-2) (n…

砂時計問題の解答例を示します。 解 砂時計を途中でひっくり返すとそれまでの経過時間を再び計れる点に着目すると、１６分から２２分について、次のような方法を思いつく。 ２３分以上については、１６分から２２分の計り方それぞれに７分の倍数をたして行け…

砂時計問題を紹介します。 問題 砂時計問題 ７分が計れる砂時計と１０分が計れる砂時計がある。この２つの砂時計をうまく使うと１６分以上が１分単位ですべて計れる。その理由を考えよ。ただし、砂時計は横に倒さないものとする。

逃げ切り問題の解答例を示します。 解 上陸したとき、近くに太郎君がいなければ、花子さんは太郎くんより早く走れるので、逃げ切ることができる。 湖の半径をr、ボートの速さをvとする。 まず、太郎君と旗とボートが一直線になるように、湖の中心からr/4の位…

逃げ切り問題を紹介します。 問題 逃げ切り問題 中心に旗が立っている円形の湖で、花子さんがボートに乗って遊んでいる。そこへ太郎君がやってきたが、彼とはいま喧嘩をしているので逃げることにした。うまく逃げられるだろうか。この湖にはほかにボートはな…