ランフォードの問題・考察２を示します。
考察２
記号1が2個、記号2が2個、・・・、記号5が2個からなる長さ10の
記号列において、
記号1の対の間に1個の記号、
記号2の対の間に2個の記号、
・・・、
記号5の対の間に5個の記号
があるような記号列を考察する。
1が2個、2が2個、・・・、5が2個からなる長さ10の記号列において、
記号mが最初に現れる位置をa(m)、2番目に現れる位置をb(m)とする。
記号mが挟む他の記号の個数をc(m)と置くと、
c(1)＝b(1)－a(1)－1
c(2)＝b(2)－a(2)－1
・・・
c(5)＝b(5)－a(5)－1
となる。
A(5)＝{a(1),a(2),a(3),a(4),a(5)}
B(5)＝{b(1),b(2),b(3),b(4),b(5)}
α(5)＝a(1)＋a(2)＋a(3)＋a(4)＋a(5)
β(5)＝b(1)＋b(2)＋b(3)＋b(4)＋b(5)
γ(5)＝c(1)＋c(2)＋c(3)＋c(4)＋c(5)
＝β(5)－α(5)－5
と置く。
A(5)∪B(5)＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} なので、
・A(5)で偶数5個、奇数0個なら、B(5)は偶数0個、奇数5個となる。
α(5)は偶数、β(5)は奇数、γ(5)は偶数となる。
・A(5)で偶数4個、奇数1個なら、B(5)は偶数1個、奇数4個となる。
α(5)は奇数、β(5)は偶数、γ(5)は偶数となる。
・A(5)で偶数3個、奇数2個なら、B(5)は偶数2個、奇数3個となる。
α(5)は偶数、β(5)は奇数、γ(5)は偶数となる。
・A(5)で偶数2個、奇数3個なら、B(5)は偶数3個、奇数2個となる。
α(5)は奇数、β(5)は偶数、γ(5)は偶数となる。
・A(5)で偶数1個、奇数4個なら、B(5)は偶数4個、奇数1個となる。
α(5)は偶数、β(5)は奇数、γ(5)は偶数となる。
・A(5)で偶数0個、奇数5個なら、B(5)は偶数5個、奇数0個となる。
α(5)は奇数、β(5)は偶数、γ(5)は偶数となる。
以上より、γ(5)は常に偶数となる。
一方、求める記号列では、c(1)=1,c(2)=2,c(3)=3,c(4)=4,c(5)=5 から、
γ(5)＝15となる。
したがって、n=5の場合、求める記号列は、0個になる。
同様の議論で、n＝9,13,17,…,4i+1,… において、求める記号列は、0個になる。
