背理法の理解・整数問題（７）の解

　背理法の理解・整数問題（７）の解答例を示します。

問題（７）の解

　背理法で証明する。

　「H(n)は整数である」と仮定して矛盾を導く。

両辺に1,2,･･･,nの最小公倍数aを掛けると、左辺はaH(n)となる。

ここで、aは偶数であることに注意すると、

H(n)は整数と仮定しているので、左辺aH(n)は、偶数になる。

一方、右辺は、

a + a/2 + a/3 + ･･･ + a/n

になる。

　ところが、1からnまでの自然数の中で、因数2を最大個数持つものを

m（このようなmは、1からnまでの中に、ただひとつ存在する）とすると、

a/mのみが 奇数 になり、他のa/k（1≦k≦n, k≠m）は、偶数になる。

　n=10の場合、最小公倍数aは、2３･3２･5１･7１=2520となり、m=8となる。

　したがって、右辺は、奇数になる。

すなわち、左辺が偶数、右辺が奇数となる。

これは矛盾である。

したがって、命題が正しいことが証明された。