数学的帰納法によって解ける整数問題の解答例を示します。
問題の解
aとbの和について数学的帰納法で証明する。
（Ａ）aとbの和が3の場合。
正整数a,bの仮定（a＞b＞0）より、a=2,b=1となる。そこで、x=1,y=-1とすれば、
2･1 + 1･(-1) = 1
が成り立つ。すなわち、命題は正しい。
（Ｂ）aとbの和が、3以上k(k≧3)以下で命題が正しいと仮定する。
つぎに、aとbの和がk+1のときも命題が正しいことを示す。
c = a - b
とし、bとcについて考える。
まず、bとcは互いに素であることがわかる（なぜなら、bとcが互いに素でないとすると、b＝b'm,c＝c'mとかけ、a=(b'+c')mとなって、aとbが互いに素という仮定に反する）。
また、bとcの和が
b + c = b + (a - b) = a = (k+1) - b ≦ k
となることがわかる。
そこで、bとcについて仮定が適用でき、
bu + cv = 1
を満たす整数解u,vが存在することが導ける。
ところが、c=a-bの関係を代入すると、
bu + (a - b)v = 1
av + b(u - v) = 1
となる。ここで、x=v,y=u-vとすると、
ax + by = 1
となる。すなわち、aとbの和がk+1のときも命題は正しい。
（Ａ）,（Ｂ）より命題が証明された。
