時計盤問題・考察（２）を示します。
考察（２）
n=12の場合、３つ組の和が高々20となる配置は存在しない。
３つ組の和が高々20となる配置があるとして、矛盾を導く。
12個の３つ組の和をS(12)とする。S(12)の値は、一定で、234。
（イ）20となるものが1組だけとすると、
S(12)≦20+19×11=229＜234
より矛盾。
（ロ）20となるものが2組だけとすると、
S(12)≦20×2+19×10=230＜234
より矛盾。
（ハ）20となるものが3組だけとすると、
S(12)≦20×3+19×9=231＜234
より矛盾。
（ニ）20となるものが4組だけとすると、
S(12)≦20×4+19×8=232＜234
より矛盾。
（ホ）20となるものが5組だけとすると、
S(12)≦20×5+19×7=233＜234
より矛盾。
（ヘ）20となるものが6組だけとすると、20となる組が6組、19となる組が6組となり、交互に現れる。x1+x2+x3=20としても一般性を失わない。
x1+x2+x3=20
x2+x3+x4=19
x3+x4+x5=20
x4+x5+x6=19
x5+x6+x7=20
x6+x7+x8=19
x7+x8+x9=20
x8+x9+x10=19
x9+x10+x11=20
x10+x11+x12=19
x11+x12+x1=20
x12+x1+x2=19
1番目の式から2番目の式を引くと、x1-x4=1
10番目の式から11番目の式を引くと、x10-x1=-1
これから、x4=x10が導ける。
これはx1からx12まですべて相異なることに矛盾。
（ト）20となるものが7組以上とすると、３つ組12個中、20となる組で連続するものが存在することになる。仮に、
x1+x2+x3=20, x2+x3+x4=20
とすると、
(x1+x2+x3)-(x2+x3+x4)=20-20
より、x1=x4となるが、
これは、x1からx12まですべて相異なることに矛盾。
したがって、題意は示された。
このことから、T(12)≧21 がわかる。
