耐久数問題・考察（３）を示します。
考察（３）
正整数nの各桁の数字を掛け、得られた結果をmとすると、n＞m が成り立つ。
したがって、耐久数を求める手順は、必ず終了する。
・２桁の場合。
10a + b - ab = a(10 - b) + b
> 0
・３桁の場合。
100a + 10b + c - abc = 10(10a + b) + c - abc
> 10(ab) + c - abc
= ab(10 - c) + c
> 0
・４桁の場合。
1000a + 100b + 10c + d - abcd = 10(100a + 10b + c) + d - abcd
> 10(abc) + d - abcd
= abc(10 - d) + d
> 0
５桁以上の場合も同様に示すことができる。
耐久数問題・考察（２）を示します。
考察（２）
3桁の数aabの耐久数がpとなるなら、
aba, baa
も同じ耐久数pとなる。
3桁の数abcの耐久数がpとなるなら、
acb, bac, bca, cab, cba
も同じ耐久数pとなる。
これらの性質は、耐久数を求める計算過程から明らかで、
他の桁の数についても同様の性質が成り立つ。
耐久数問題・考察（１）を示します。
考察（１）
・4桁の正整数で、最大の耐久数は6。
耐久数6となる正整数は、全部で12個。
6788 6878 6887 7688 7868 7886 8678 8687 8768 8786
8867 8876
・5桁の正整数で、最大の耐久数は7。
耐久数7となる正整数は、全部で20個。
68889 68898 68988 69888 86889 86898 86988 88689 88698
88869 88896 88968 88986 89688 89868 89886 96888 98688
98868 98886
・5桁の正整数で、最大の耐久数は7。
耐久数7となる正整数は、全部で2430個。
168889 168898 168988 169888 186889 186898 186988 188689 188698
188869 188896 188968 188986 189688 189868 189886 196888 198688
198868 198886 238889 238898 238988 239888 246889 246898 246988
途中省略
988681 988737 988773 988816 988823 988832 988861 992677 992767
992776 993477 993747 993774 994377 994737 994773 996277 996727
996772 997267 997276 997347 997374 997437 997473 997627 997672
997726 997734 997743 997762
・6桁の正整数で、最大の耐久数は8。
耐久数8となる正整数は、全部で5229個。
2677889 2677898 2677988 2678789 2678798 2678879 2678897 2678978 2678987 2679788 2679878 2679887 2687789 2687798 2687879 2687897 2687978 2687987 2688779 2688797 2688977 2689778 2689787 2689877 2697788 2697878 2697887
途中省略
9996973 9996999 9997299 9997369 9997396 9997639 9997693 9997929 9997936 9997963 9997992 9998688 9998868 9998886 9999279 9999297 9999367 9999376 9999637 9999673 9999699 9999729 9999736 9999763 9999792 9999927 9999969 9999972 9999996
耐久数問題（１）の解答例を示します。
問題（１）の解
・3桁の耐久数
最大耐久数：5
679 688 697 769 796 868 886 967 976
全部で9個
耐久数問題（１）を紹介します。
問題（１）
正整数の各桁の数字を掛け、得られた結果についても同様の操作を繰り返す。
すると、最後は１桁の数になる。
たとえば、77 -> 49 -> 36 -> 18 -> 8 より、操作回数は4となる。
この操作回数を耐久数という。
77 --> 7×7 = 49
49 --> 4×9 = 36
36 --> 3×6 = 18
18 --> 1×8 = 8
3桁の正整数で、できるだけ大きい耐久数をもつ正整数を求めよ。
天然数問題の考察を示します。
考察
●4桁の天然数。
1000以上 9999以下の天然数は 881個
●5桁の天然数。
10000以上 99999以下の天然数は 8801個
●6桁の天然数。
100000以上999999以下の天然数は88001個
天然数問題（３）の解答例を示します。
問題（３）の解
108 110 121 132 143 154 165 176 187 198
209 211 222 233 244 255 266 277 288 299
310 312 323 334 345 356 367 378 389 400
411 413 424 435 446 457 468 479 490 501
512 514 525 536 547 558 569 580 591 602
613 615 626 637 648 659 670 681 692 703
714 716 727 738 749 760 771 782 793 804
815 817 828 839 850 861 872 883 894 905
916 918 929 940 951 962 973 984 995
全部で89個。
