面積比の問題（４）の解

面積比の問題（４）の解を示します。

（４）の解

　小さい方の正５角形を36°回転する。

　　∠AOB = 36°、∠BAO = 54°

　△ABO∽△BCO より、

　　　　BO：AB = CO：BC　

を使うと、BC = (AB・CO)/BO が導ける。

また、CO = BO・cos(∠AOB) = BO・cos(36°)が成り立つ。

　大きい方の正５角形の面積：小さい方の正５角形の面積は、
　△ABOの面積：△BCOの面積と考えてよい。

したがって、

　△ABOの面積：△BCOの面積 = (AB・BO)/2 ： (BC・CO)/2

= (AB・BO)/2 ： (AB・CO・CO)/(2BO)

= BO ： CO・CO/BO

= 1：cos²(36°)

得る。

（考察）

　一般的に正n角形の場合、

　　∠AOB = (180/n)°となることから、

　　　　大きい方の正n角形の面積：小さい方の正n角形の面積

= 1：cos²(180/n°)

が成り立つ。