パズル万華鏡

面白いパズルの紹介と解説をします。

部屋割論法の理解・整数問題(2)の解

 部屋割論法の理解・整数問題(2)の解答例を示します。

 

問題(2)の解

 6個の自然数

 a(1)=11,a(2)=20,a(3)=9,a(4)=41,a(5)=3,a(6)=15

とする。

つぎのような7個の和b(0),b(1),・・・,b(6)を考える。

  b(0)=0,
  b(1)=a(1)=11,
  b(2)=a(1)+a(2)=31,
  b(3)=a(1)+a(2)+a(3)=40,
  b(4)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)=81,
  b(5)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)=84,
  b(6)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)+a(6)=99

これらを6で割った余りは、0,1,・・・,5のいずれかとなる。

そうすると、部屋割論法

  「6個の余り0,1,・・・,5が6個の部屋に対応し、
   7個の数b(0),b(1),・・・,b(6)が7人の客に対応する」

により、

7個の数b(0),b(1),・・・,b(6)のうち、少なくとも2つのb(i),b(j)
(b(i)<b(j))において、6で割った余りが等しくなる。

この場合、b(0)とb(5)、b(4)とb(6)が6で割った余りが等しい。

したがって、

  b(5)-b(0)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)、
  b(6)-b(4)=a(5)+a(6)

が6で割り切れることになる。

これは、一列中の連続して並んだ何個かの数の和が6で割り切れることを意味する。

以上より、命題が証明された。

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部屋割論法の理解・整数問題(2)

 部屋割論法の理解・整数問題(2)を紹介します。

 

問題(2)

 6個の自然数 11, 20, 9, 41, 3, 15 を一列に並べたとき、これらの中の連続して並んだ何個かの数の和の中に、6の倍数となるものが必ずあることを部屋割論法で示せ。

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部屋割論法の理解・整数問題(1)・考察

 部屋割論法の理解・整数問題(1)・考察を示します。

 

考察

 n個の自然数がある。これらの中から2つの自然数を適当に選べば、
その差が n-1 で割り切れるような2つの数が必ずある。

 どんな自然数でもn-1で割ると、余りは0からn-2までのどれかになる。

余りについて、n-1個の部屋を用意し、n個の自然数をn-1で割った余りにしたがって、このn-1個の部屋に入れる。

 部屋割論法により、どれか2つの自然数は同じ部屋にはいることになる。

ところで、同じ部屋の2個の数の差はn-1で割り切れるので、差がn-1で割り切れるような2個の数があることになる。以上より、命題が証明された。

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部屋割論法の理解・整数問題(1)の解

 部屋割論法の理解・整数問題(1)の解答例を示します。

 

問題(1)の解

 どんな自然数でも9で割ると、余りは0から8までのどれかになる。

余りについて、9個の部屋を用意し、10個の自然数を9で割った余りにしたがって、この9個の部屋に入れる。

 部屋割論法により、どれか2つの自然数は同じ部屋にはいることになる。

ところで、同じ部屋の2個の数の差は9で割り切れるので、差が9で割り切れるような2個の数があることになる。以上より、命題が証明された。

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