背理法の理解・整数問題（５）の解

　背理法の理解・整数問題（５）の解答例を示します。

問題（５）の解

　背理法で示す。

　「素数の積として表せない正整数が存在する」と仮定して矛盾を導く。

このとき、そのような正整数の中で最小の正整数bに注目する。

すなわち、b未満の正整数は素数の積で表せる。

正整数b自身は、素数でないことより、

　　　　b = cd　　(1＜c＜b,　1＜d＜b)

と表せるはずである。

ここで、cとdは、bより小さいことから、素数の積に表せる。

すなわち、

　　　　c = c(1)c(2)･･･c(s)　　（c(1),c(2),･･･c(s)は素数）
　　　　d = d(1)d(2)･･･d(t)　　（d(1),d(2),･･･d(t)は素数）

と表せる。したがって、

　　 　　b = cd = c(1)c(2)･･･c(s)d(1)d(2)･･･d(t)

となり、bもまた 素数の積 で表せることになる。これは、矛盾である。

したがって、正整数a(a≧2)は、素数の積として表せることが示された。