背理法の理解・整数問題（４）の解

　背理法の理解・整数問題（４）の解答例を示します。

問題（４）の解

　背理法で示す。

　「積(a(1)-1)(a(2)-2)･･･(a(n)-n)が奇数である」と仮定する。

　積(a(1)-1)(a(2)-2)･･･(a(n)-n)が奇数であることと、
a(1)-1,a(2)-2,･･･,a(n)-n がすべて奇数であることとは同値である。

そこで、n=2m+1とすると、

　　「a(1)-1が奇数」と「a(1)が偶数」は同じ
　　「a(2)-2が奇数」と「a(2)が奇数」は同じ　
　　　・・・
　　「a(2m+1)-(2m+1)が奇数」と「a(2m+1)が偶数」は同じ

となり、a(1),a(2),･･･,a(n)には、偶数がm+1個、奇数がm個となる。

一方、1,2,･･･.2m+1には、偶数がm個、奇数がm+1個である。

これは矛盾する。

したがって、(a(1)-1),(a(2)-2),･･･,(a(n)-n)はすべて奇数にはならない。

すなわち、積(a(1)-1)(a(2)-2)･･･(a(2m+1)-(2m+1))は奇数にはならず、

偶数になる。