ピタゴラス数についての考察を紹介します。
正整数a,b,cについて、a2 + b2 = c2（1≦a≦b≦c）とする。
（このような正整数a,b,cをピタゴラス数という）
a,bが互いに素なピタゴラス数を既約なピタゴラス数という。
たとえば、
( 1) 3 4 5 ( 25) 19 180 181 ( 49) 252 275 373
( 2) 5 12 13 ( 26) 57 176 185 ( 50) 135 352 377
( 3) 8 15 17 ( 27) 95 168 193 ( 51) 189 340 389
( 4) 7 24 25 ( 28) 28 195 197 ( 52) 228 325 397
( 5) 20 21 29 ( 29) 84 187 205 ( 53) 40 399 401
( 6) 12 35 37 ( 30) 21 220 221 ( 54) 120 391 409
( 7) 9 40 41 ( 31) 60 221 229 ( 55) 29 420 421
( 8) 28 45 53 ( 32) 105 208 233 ( 56) 87 416 425
( 9) 11 60 61 ( 33) 120 209 241 ( 57) 145 408 433
( 10) 16 63 65 ( 34) 32 255 257 ( 58) 84 437 445
( 11) 48 55 73 ( 35) 23 264 265 ( 59) 280 351 449
( 12) 13 84 85 ( 36) 69 260 269 ( 60) 168 425 457
( 13) 39 80 89 ( 37) 115 252 277 ( 61) 261 380 461
( 14) 65 72 97 ( 38) 160 231 281 ( 62) 31 480 481
( 15) 20 99 101 ( 39) 161 240 289 ( 63) 44 483 485
( 16) 60 91 109 ( 40) 68 285 293 ( 64) 132 475 493
( 17) 15 112 113 ( 41) 136 273 305
( 18) 44 117 125 ( 42) 25 312 313
( 19) 88 105 137 ( 43) 75 308 317
( 20) 17 144 145 ( 44) 36 323 325
( 21) 51 140 149 ( 45) 175 288 337
( 22) 85 132 157 ( 46) 180 299 349
( 23) 119 120 169 ( 47) 225 272 353
( 24) 52 165 173 ( 48) 27 364 365
がみつかる。つぎのような性質がある。
（１）正整数a,b,cのうち、少なくともひとつはn(2,3,4,5)の倍数である。
（２）正整数aとbのいずれか１つは、n(2,3,4)の倍数である。
●「正整数a,b,cのうち、少なくともひとつは2の倍数である。」を背理法で
証明する。
命題Ａ：「正整数a,b,cのうち、少なくともひとつは2の倍数である」
命題Ａを否定すると、命題Ｂを得る。
命題Ｂ：「正整数a,b,cとも、2の倍数でない（すなわち、奇数）」
命題Ｂが正しいと仮定して矛盾を導く。
このように仮定すると、
a=2p+1,b=2q+1,c=2r+1
とおける。このとき、
a2 + b2 = 2(2p2 + 2q2 + 2p + 2q + 1)
c2 = 2(2r2 + 2r) + 1
となる。この結果、
a2 + b2は2で割ると余りが0となる数、
c2は2で割ると余りが1となる数
となる。これはa2 + b2 = c2に矛盾する。
したがって、命題Ｂが正しくないことが示され、命題Ａが正しいことが証明された。
●「正整数aとbのいずれか１つは、3の倍数である。」を背理法で証明する。
命題Ａ：「正整数aとbのいずれか一方は3の倍数である」
命題Ａを否定すると、命題Ｂを得る。
命題Ｂ：「正整数a,bともに3の倍数でない」
命題Ｂが正しいと仮定して矛盾を導く。
このように仮定すると、
a=3p±1,b=3q±1
とおける。このとき、
a2 + b2 = 3(3p2 + 3q2±2p±2q) + 2
となる。一方、c=3rのとき、
c2 = 9r2
c=3r±1のとき、
c2 = 3(3r2±2r) + 1
となる。この結果、
a2 + b2は3で割った余りが2となる数、
c2は3で割った余りが0または1
となる数となる。これは、a2 + b2 = c2に矛盾する。
したがって、命題Ｂが正しくないことが示され、命題Ａが正しいことが証明された。
