パズル万華鏡

面白いパズルの紹介と解説をします。

6×6の方眼紙をある図形で被覆する問題(1)

 6×6の方眼紙をある図形で被覆する問題(1)を紹介します。

 

問題(1)

 6×6の方眼紙をつぎの図形Aを9個用いて覆えるか調べよ。
ただし、この方眼紙の境界からはみ出すことなく、またどの2個の図形も互いに重ならないものとする。

f:id:isemba:20170414085737j:plain

f:id:isemba:20170414085745j:plain

6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題・考察2

 6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題・考察2を示します。

 

考察2

 2×nの方眼紙を1×2の方眼紙で覆う方法a(n)について、

   a(n) = a(n-1) + a(n-2) (n≧3),a(2)=2,a(1)=1

が成り立つ。

 2×nの方眼紙を1×2の方眼紙で覆う方法は、2×(n-1)の方眼紙を覆う方法と、2×(n-2)の方眼紙を覆う方法に分類できる。

f:id:isemba:20170401133547j:plain

 したがって、

   a(n) = a(n-1) + a(n-2) (n≧3),a(2)=2,a(1)=1

が成り立つ。

a(n)の値。フィボナッチ数になっている。

f:id:isemba:20170401133637j:plain

a(n)の式。

f:id:isemba:20170401133700j:plain

f:id:isemba:20170401133708j:plain

6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題・考察1

 6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題・考察1を示します。

 

考察1

 2×5の方眼紙を1×2の方眼紙で覆う方法をすべて求める。

 8通りの覆い方がある。

f:id:isemba:20170401133339j:plain

f:id:isemba:20170401133351j:plain

6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題(5)の解

 6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題(5)の解答例を示します。

 

問題(5)の解

 「覆えない」

 図のように6×6の方眼紙を白と黒で市松模様に塗り分ける。1×2の方眼紙は、この6×6の方眼紙の1つの黒いマス目と1つの白いマス目を覆う。
 したがって、1×2の方眼紙で、この6×6の方眼紙を覆ったとすると、同じ数の黒いマス目と白いマス目になる。一方、この6×6の方眼紙の黒いマス目は、18個、白いマス目は、16個となる。つまり、この6×6の方眼紙には異なる数の黒いマス目と白いマス目があるので、1×2の方眼紙で覆うことはできない。

f:id:isemba:20170401133123j:plain

f:id:isemba:20170401133132j:plain

6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題(5)

 6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題(5)を紹介します。

 

問題(5)

 6×6の方眼紙上で2つのマス目(塗られている)が切り取られている。
この方眼紙上の残りのマス目を、1×2の方眼紙(マス目2個分の大きさ)で覆えるかどうか考察せよ。
ただし、1×2の方眼紙または2×1の方眼紙は、この方眼紙の境界からはみ出すことなく、またどの2枚の方眼紙も互いに重ならないものとする。

f:id:isemba:20170401132938j:plain

f:id:isemba:20170401132945j:plain

6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題(4)の解

 6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題(4)の解答例を示します。

 

問題(4)の解

 「覆える」

f:id:isemba:20170401132646j:plain

 図のように、6×6の方眼紙上に折れ線を考える。

f:id:isemba:20170401132710j:plain

f:id:isemba:20170401132726p:plain

f:id:isemba:20170401132739j:plain

しかし、どちらの部分も、白いマス目と黒いマス目が交互につながる全部で偶数個のマス目のつながりとなるので、図のように、1×2の方眼紙で覆うことができる。

f:id:isemba:20170401132813j:plain

6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題(4)

 6×6の方眼紙を1×2の方眼紙で被覆する問題(4)を紹介します。

 

問題(4)

 6×6の方眼紙上で2つのマス目(塗られている)が切り取られている。
この方眼紙上の残りのマス目を、1×2の方眼紙(マス目2個分の大きさ)で覆えるかどうか考察せよ。
ただし、1×2の方眼紙または2×1の方眼紙は、この方眼紙の境界からはみ出すことなく、またどの2枚の方眼紙も互いに重ならないものとする。

f:id:isemba:20170401132515j:plain

f:id:isemba:20170401132522j:plain